Question

【题目】已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2 （Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2= ，

当x＜﹣ 时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．

当﹣ ≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈．

当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．

综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．

（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由题意可得，不等式①有解．

由于|x+ |﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+ |﹣|x|∈[﹣ ， ]，

故有 +1≥﹣ ，求得a≥﹣3

【解析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+ |﹣|x|∈[﹣ ， ]，故有 +1≥﹣ ，由此求得a的范围．