Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；l₂：x=2．若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（1）求a、b、c的值．
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由图知（0，0）和（8，0）在函数图象上，以及f（x）的最大值为16，代入函数解析式和顶点的纵坐标，列出方程组求出a、b、c的值；
（2）由图知先求出联立直线l₁与f（x）的方程，求出它们图象的交点坐标，再根据定积分的几何意义求出阴影部分的面积．

解答：解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

解之得：

a=-1 b=8 c=0

，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x
（2）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t²+8t）
由定积分的几何意义知：S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx
=[(-t2+8t)x-(-

x3

3

+4x2)] |_t+[(-

x3

3

+4x2)-(-t2+8t)•x] 

|

2 t

=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

．

点评：本题考查了由图象求函数的解析式和阴影部分的面积，即根据点在图象上则点的坐标满足方程求解析式，用定积分求面积时应先求出交点的坐标，考查了读图能力和数形结合思想．