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已知函数f(x)=alnxax-3(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)函数yf(x)的图像在x=4处的切线的斜率为,若函数g(x)=x3x2[f′(x)+]在区间(1,3)上不是单调函数,求m的取值范围.

解析:(1)f′(x)= (x>0),…………3分

a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为[1,+∞);…………4分

a<0时,f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(0,1];…………5分

a=0时,f(x)不是单调函数.……………………6分

(2)由f′(4)=-,得a=-2,则f(x)=-2lnx+2x-3,

g(x)=x3+(+2)x2-2x,…………………………………………8分

g′(x)=x2+(m+4)x-2.

g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g′(0)=-2<0,

……………………………………11分

m的取值范围是(-,-3).

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