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(1) |
解析:方法一 ∵O、D分别为AC、PC的中点,∴OD∥PA. 又PA平面PAB,∴OD∥平面PAB. 方法二 ∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示). 设AB=a,则A(,0,0)B(0,,0)C(-a,0,0). 设OP=h,则P(0,0,h) ∵D为PC有中心, ∴=(-,0,h) 又=(,0,-h),∴= ∴∥,∴OD∥平面PAB. |
(2) |
方法一 ∵AB⊥BC,OA=OC ∴OA=OB=OC 又∵OP⊥平面ABC ∴PA=PB=PC 如图所示取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE 作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC,∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD∥PA ∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF 在Rt△ODF中,sin∠ODF== ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin 方法二 ∵k=,即PA=2a, ∴h=a.∴=(a,0,-a). 可求得平面PBC的法向量,n=(1,-1,-), ∴cos<,n>==. 设PA与平面PBC所成的角为θ, 则sinθ=|cos(,n)|=, ∴PA与平面PBC所成的角为arcsin |
(3) |
方法一 由(2)知,OF⊥平面PBC ∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点 若点F是△PBC重心,则B、F、D三点共线 ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD ∵OB⊥PC,∴PC⊥BD ∴PB=BC,即k=1 反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥 ∴点O在平面PBC内的射影为△PBC的重心 方法二 △PBC的重心G(-,.h) ∴=(-,,h) ∵OG⊥平面PBC,∴⊥ 又=(0,a,-h) ∴·=a2-h2=0 ∴h=a ∴PA==a,即k=1 反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥 ∴点O在平面PBC内的射影为△PBC的重心 点评:第(3)问中,由重心推出k=1,但这时k=1是重心的必要条件,而非充要条件,应注意检验. |
科目:高中数学 来源: 题型:
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