Question

已知cos（x+

π

6

）=

1

3

，（0＜x＜

π

2

）则cosx=

3 +2 2

6

．

Answer 1

分析：利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到关于cosx与sinx的关系式，用cosx表示出sinx，再利用同角三角函数间的基本关系得到sin²x+cos²x=1，将表示出的sinx代入得到关于cosx的方程，求出方程的解，根据x的范围，即可得到满足题意的cosx的值．

解答：解：∵cos（x+

π

6

）=cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

3

2

cosx-

1

2

sinx=

1

3

，
∴3

3

cosx-3sinx=2，即sinx=

3 3 cosx-2

3

，
又sin²x+cos²x=1，
∴

(3 3 cosx-2)2

9

+cos²x=1，即36cos²x-12

3

cosx-5=0，
解得：cosx=

3 +2 2

6

＞0，或cosx=

3 -2 2

6

＜0，
又0＜x＜

π

2

，∴cosx＞0，
则cosx=

3 +2 2

6

．
故答案为：

3 +2 2

6

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．