Question

14．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁（-c，0）的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF₁|=3|F₁B|，且AB⊥AF₂，则椭圆E的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 在△AF₁F₂中和在△ABF₂中，分别利用勾股定理求得，再根据条件列出等式求解．

解答 解：设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵AB⊥AF₂，∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，故a=3k，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，⇒c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的离心率，合理利用椭圆的定义是解题关键，属于中档题．