Question

已知y=f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，在区间[0，1）上是减函数，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据题意，将f（1-a）+f（1-a²）＜0变形为f（1-a）＜-f（1-a²），又因为f（x）是奇函数，原不等式又可变形为f（1-a）＜f（a²-1），结合f（x）是减函数，可得1-a＞a²-1；再由函数的定义域为（-1，1），可得-1＜1-a＜1，-1＜1-a²＜1，解可得a的取值范围，即得答案．

解答： 解：根据题意，∵f（1-a）+f（1-a²）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a²），
又∵f（x）是奇函数，则-f（1-a²）=f（a²-1），
∴f（1-a）＜f（a²-1），
又∵f（x）在区间[0，1）上是减函数，
则f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴有1-a＞a²-1；
又∵函数的定义域为（-1，1）；
∴-1＜1-a＜1，-1＜1-a²＜1；
综合有

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＞a2-1

，解可得0＜a＜1；
故a的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，解答的易错点为忽略函数的定义域，而只解“1-a＞a²-1”一个方程．