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【题目】已知函数.

(Ⅰ)讨论的单调性;

(Ⅱ)若,求证:.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析

【解析】试题分析:

(Ⅰ)根据题意可得,分两种情形讨论的符号可得单调性.(Ⅱ)令 ,可得,构造函数,结合导数可得,于是可得上单调递减,在上单调递增,故,然后再证明,即可得,从而可得成立.

试题解析:

(Ⅰ)由题意得

①当时,则上恒成立,

上单调递减.

②当时,

则当时,单调递增,

时,单调递减.

综上:当时,上单调递减;

时,上单调递减,在上单调递增.

(Ⅱ)令

,

∴当时, 单调递增;

时, 单调递减.

(因为),

.

上单调递减,在上单调递增,

上递减,

,故.

说明:判断的符号时,还可以用以下方法判断:

得到

,则

时,;当时,.

从而上递减,在上递增.

.

时,,即.

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