Question

已知方程sinx+

3

cosx+a=0在区间[0，2π]上有且只有两个不同的解，则实数a的取值范围是

a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）

．

Answer 1

分析：由已知中方程sinx+

3

cosx+a=0，我们根据正弦型函数的图象和性质，易分析出a=-（sinx+

3

cosx）在区间[0，2π]上的图象和性质，进而分析出a取不同值时，方程sinx+

3

cosx+a=0解的个数，进而得到答案．

解答：解：∵sinx+

3

cosx+a=0
∴a=-（sinx+

3

cosx）=-2sin（x+

π

3

）∈[-2，2]
当a=±2时，方程sinx+

3

cosx+a=0有唯一的解；
当a=

3

时，方程sinx+

3

cosx+a=0有三个不同的解；
当a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）时，方程sinx+

3

cosx+a=0有两个不同的解；
故满足条件的实数a的取值范围是a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）
故答案为：a∈（-2，-

3

）∪（-

3

，2）

点评：本题考查的知识点是正弦函数的值域，方程根与函数零点的个数的关系，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答本题的关键．