Question

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1，已知点P（1，

3

），过点P作互相垂直且分别与圆M圆N相交的直线l₁，l₂，设l₁被圆M截得的弦长为s，l₂被圆N截得的弦长为t，

s

t

是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线C₁的焦点为F₂（2，0），得出双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），再设A（x₀，y₀）在抛物线C₁上，根据|AF₂|=5结合抛物线的定义得，x₀、y₀的值，最后根据双曲线定义结合点A在双曲线上，得a=1，可求双曲线方程；
（2）设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，根据双曲线的渐近线方程和直线与圆相切的条件，得圆M的半径为r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，从而求出圆M的方程．过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l₁和l₂，设其中的一条斜率为k，则另一条的斜率为-

1

k

，利用直线的点斜式方程，将直线l₁和l₂的方程与圆M方程联解，可以得出弦长为s和t关于k的表达式，将其代入

s

t

进行化简，可以得到定值

3

．

解答：解：（1）∵抛物线C₁：y²=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），
设A（x₀，y₀）在抛物线C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x₀+2=5，∴x₀=3，∴y₀²=8×3，∴y0=±2

6

，
∴|AF1|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，
又∵点A在双曲线上，由双曲线定义得，2a=|7-5|=2，∴a=1，
∴双曲线的方程为：x2-

y2

3

=1．
（2）

s

t

为定值．下面给出说明．
设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，双曲线的渐近线方程为：y=±

3

x，
∵圆M与渐近线y=±

3

x相切，∴圆M的半径为r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，
故圆M：（x+2）²+y²=3，
显然当直线l₁的斜率不存在时不符合题意，
设l₁的方程为y-

3

=k(x-1)，即kx-y+

3

-k=0，
设l₂的方程为y-

3

=-

1

k

(x-1)，即x+ky-

3

k-1=0，
∴点M到直线l₁的距离为d1=

|3k- 3 |

1+k2

，点N到直线l₂的距离为d2=

| 3 k-1|

1+k2

，
∴直线l₁被圆M截得的弦长s=2

3-( 3k- 3 1+k2 )2

=2

6 3 k-6k2 1+k2

，
直线l₂被圆N截得的弦长t=2

1-( 3 k-1 1+k2 )2

=2

2 3 k-2k2 1+k2

，
∴

s

t

=

6 3 k-6k2 2 3 k-2k2

=

6( 3 k-k2) 2( 3 k-k2)

=

3

，
故

s

t

为定值

3

．

点评：本题考查了圆方程、直线方程、圆锥曲线的基本量和圆与圆锥曲线的关系等知识点，属于难题．解决本题一方面要求对圆方程、直线方程、圆锥曲线的方程有熟悉的理解，另一方面要求对含有字母的代数式化简、计算要精确到位，具有较强的综合性．