Question

已知函数f（x）=2sinxcos（-x）-2sin（π+x）cosx
（1）求y=f（x）的最小正周期，并说明由函数y=sinx的图象经过怎样的平移伸缩变换可得到函数y=f（x）的图象？
（2）若0≤x≤，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵cos（-x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，
∴f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=2sin（2x-）+1，…（2分）
因此，f（x）的最小正周期T==π，…（3分）
该函数f（x）图象是由y=sinx的图象先右移个单位，然后纵坐标不变横坐标变为原来的，
然后横坐标不变纵坐标变为原来的2倍，最后上平移移1个单位而得．…（6分）
（2）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤
∴-≤sin（2x-）≤1，可得0≤2sin（2x-）+1≤3…（9分）
∴函数y=f（x）的值域是[0，3]…（12分）
分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得2sin（2x-）+1，再结合正弦函数周期公式可得周期T=π，再由三角函数图象变换的公式，可得函数f（x）图象由y=sinx的图象经过平移和伸缩变换的过程；
（2）根据题意，得到-≤2x-≤，再结合正弦函数图象在区间[-，]上的单调性，即可得到f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值．
点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的值域，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．