Question

已知函数f(x)=aln(x+1)-

x

1+x

在[0，+∞）上单调递增，数列{a_n}满足a1=

1

3

，a2=

7

9

，an+2=

4

3

an+1-

1

3

an（n∈N^*）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

an+2

＜ln

3n+1-2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=

a

1+x

-

1

(x+1)2

≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥

1

1+x

在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；
（Ⅱ）先证明{an+1-

1

3

an}是常数数列，再证明{a_n-1}是首项为-

2

3

，公比为

1

3

的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知ln(x+1)＞

x

1+x

对x∈[0，+∞）恒成立，令x=

2

an

，则ln(

2

an

+1)＞

2 an

1+ 2 an

，可得

2

an+2

＜ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2），叠加即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=

a

1+x

-

1

(x+1)2

≥0在[0，+∞）上恒成立
∴a≥

1

1+x

在[0，+∞）上恒成立
∵x∈[0，+∞），∴

1

1+x

∈（0，1]
∴a≥1
当a=1时，f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）解：∵an+2=

4

3

an+1-

1

3

an，
∴an+2-

1

3

an+1=an+1-

1

3

an
∴{an+1-

1

3

an}是常数数列
∵a1=

1

3

，a2=

7

9

，
∴a2-

1

3

a1=

2

3

∴an+1-

1

3

an=

2

3

∴an+1=

1

3

an+

2

3

∴an+1-1=

1

3

(an-1)
∴{a_n-1}是首项为-

2

3

，公比为

1

3

的等比数列
∴a_n-1=（-

2

3

）•(

1

3

)n-1
∴a_n=1-

2

3n

；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln(x+1)＞

x

1+x

对x∈[0，+∞）恒成立
令x=

2

an

，则ln(

2

an

+1)＞

2 an

1+ 2 an

∴

2

an+2

＜ln（

2

an

+1）=ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）
∴

2

a1+2

+

2

a2+2

+…+

2

an+2

＜[ln（3²-2）-ln（3¹-2）]+[ln（3³-2）-ln（3²-2）]+…+ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）=ln（3ⁿ⁺¹-2）
∴

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

an+2

＜

1

2

ln(3n+1-2)=ln

3n+1-2

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．