Question

已知S_n是首项不为零的等差数列{a_n}的前n项和，且a₁+a₂=a₃，a₁a₂=a₆．
（1）求a_n和S_n；
（2）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n和S_n．
（2）由

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

n+1

）＜

2

3

．

解答： （1）解：设{a_n}的公差为d，
由已知得

2a1+d=a1+2d a1(a1+d)=a1+5d

，
解得a₁=d=3，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n．
S_n=3n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n(n+1)．
（2）

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2

3

（1-

1

n+1

）＜

2

3

．

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．