Question

【题目】如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB1、CD1、AB的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且底面边长为1，侧棱长为2， 分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（1，1，0），F（0， ，1），E（ ，1，1），G（1， ，0），
C（0，1，0），
∴平面ADD1A1的一个法向量为 ．
，
∵ ，且FG平面ADD1A1 ，
∴FG∥面ADD1A1；
（Ⅱ）解： ， ， ．
设平面BEF的一个法向量为 ，
则 ，取y=﹣2，得 ，
平面EFC的一个法向量为 ，
则 ，取y=﹣2，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣EF﹣C的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由题意，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADD1A1的一个法向量 ，求出 ，由 可得FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）分别求出平面BEF与平面EFC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣EF﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．