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    已知定义域为(0，+∞)的单调函数f(x)满足：f(m)+f(n)=f(m·n)对任意m，n∈(0，+∞)均成立．
    （Ⅰ）求f(1)的值；若f(a)=1，求的值；
    （Ⅱ）若关于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且仅有一个根，求实数k的取值集合．
    解：（Ⅰ）令m=n=1，解得：f（1）=0； 　
    又令，解得：。
    （Ⅱ）令m=n，得：，
    所求方程等价于，
    又是上的单调函数，所以原方程可化为，
    即若k＞0，则原问题为方程在上有一个根，
    设其两根为，则，又注意到，∴只可能是二重正根，
    由△=0，解得k=4或k=0（矛盾，舍去）；
    若k＜0，则原问题为方程在（-1，0）上有一个根，仍有，
    记，易知g（0）=1＞0，
    由根的分布原理，只需 g（-1）＜0，即k＜0；
    综上，。
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    ②f（1）=1；
    ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
    （1）试求f（0）的值；
    （2）试求函数f（x）的最大值；
    （3）试证明：当x∈(
    1
    2n
    ，
    1
    2n-1
    ]    ，n∈N+时，f（x）＜2x．

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    （1）求f（0）的值；
    （2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
    （3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
    ①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
    ②f（1）=1；
    ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
    （1）试求f（0）的值；
    （2）试求函数f （x）的最大值；
    （3）试证明：当x∈(
    1
    4
    ，
    1
    2
    ]    时，f（x）＜2x．

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    已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
    （1）对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1
    （3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）
    （Ⅰ）试求f（0）的值；
    （Ⅱ）试求函数f（x）的最大值；
    （Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有f（x）≤2x．

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