Question

【题目】如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．
（1）试用x表示方盒的容积V（x），并写出x的范围；
（2）求方盒容积V（x）的最大值及相应x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，无盖方盒底面是边长为6﹣2x的正方形，高为x，

从而有：V（x）=x（6﹣2x）2=4x3﹣24x2+36x，

其中，x满足： ，∴0＜x＜3

（2）解：由（1）知：V（x）=4x3﹣24x2+36x，x∈（0，3），

V′（x）=12x2﹣48x+36=12（x﹣1）（x﹣3），

若0＜x＜1，则V′（x）＞0；若1＜x＜3，则V′（x）＜0，

∴V（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，

∴V（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，

∴V（x）max=V（1）=16，

故方盒容积V（x）的最大值为16，相应x的值为1

【解析】（1）求出方盒的容积V（x），根据边长大于0，求出x的范围即可；（2）求出v（x）的导数，根据函数的单调性求出v（x）的最大值以及相应x的值即可．