Question

设函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a，b，c，d∈R，a＞0)，其中f(0)=3，f′(x)是f(x)的导函数．

(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36，f′(5)=f′(-3)=0，求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若c=-6，函数f(x)的两个极值点为x₁，x₂，满足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，设λ=a²+b²-6a+2b+10，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：由f(0)=3，可知d=3

(Ⅰ)f′(x)=3 ax²+2bx+c，由f′(5)=f′(-3)=0知

x₁=-3，x2=5是方程f′(x)=0的两根，

设f′(x)=m(x+3)(x-5)  将f′(-1)=-36代入得m=3

所以f′(x)=3(x+3)(x-5)=3x²-6x-45

比较系数得a=1，b=-3，c=-45

故f(x)=x3-3x²-45x+3为所求 

(Ⅱ)依题意．f(x)=ax³+bx²-6x+d  则f′(x)=3 ax²+2bx-6

又x₁，x₂是方程f′(x)=0的两根，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，a＞0

则  即

则点(a，b)的可行域如图

由于λ=(a-3)²+(b+1)²，故λ的几何意义为P(a，b)与A(3，-1)的距离的平方．观察图形知点A到直线3a+2b-6=0的距离的平方d²为λ的最小值

d²=

故λ的取值范围是(，+∞) .