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【题目】如图,已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左顶点A(﹣2,0),且点(﹣1, )在椭圆上,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B,直线BF2交椭圆E于点C.

(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若△CF1F2为等腰三角形,求点B的坐标;
(3)若F1C⊥AB,求k的值.

【答案】
(1)

解:由题意得a=2,将(﹣1, )代入椭圆方程 ,解得:b=

∴椭圆E的标准方程:


(2)

解:由△CF1F2为等腰三角形,且k>0,则点C在x轴下方,

1° 若丨F1C丨=丨F2C丨,则C(0,﹣ );

2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨,则丨CF2丨=2,C(0,﹣ );

3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨,则丨CF1丨=2,C(0,﹣ );

∴C(0,﹣ );

∴直线BC的方程y= (x﹣1),

,得

∴B(


(3)

解:设直线AB的方程lAB:y=k(x+2),

,整理得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,

∴xAxB=﹣2xB= ,xB=

yB=k(xB+2)= ,B(

若k= ,则B(1, ),C(1,﹣ ),

由F1(﹣1,0),则 =﹣ ,F1C与AB不垂直;

由F2(1,0), = =﹣

∴直线BF2的方程 ,直线CF1的方程:

,解得

∴C(8k2﹣1,﹣8k)

又点C在椭圆上得 ,即(24k2﹣1)(8k2+9)=0,即 ,∵k>0,


【解析】(1)将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(2)分类讨论,求得C点坐标,设直线BC的方程,即可求得点B的坐标;(3)设直线AB的方程,代入椭圆方程,即可求得B点坐标,分别求得BF2及CF1方程,联立,求得C点坐标,代入椭圆方程,即可求得k的值.

练习册系列答案
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【题目】在2015﹣2016赛季CBA联赛中,某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注:表中分数 ,N表示投篮次数,n表示命中次数),假设各场比赛相互独立.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

根据统计表的信息:
(1)从上述比赛中等可能随机选择一场,求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率;
(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率;
(3)在接下来的3场比赛中,用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次,试写出X的分布列,并求X的数学期望.

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【题目】用一些棱长是的小正方体堆放成一个几何体,其正视图和俯视图如图所示,则这个几何体的体积最多是( ).

A. B. C. D.

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【题目】假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计资料:

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

已知 .

(1)求

(2) 具有线性相关关系,求出线性回归方程;

(3)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?

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【题目】德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想:任给一个正整数 ,如果 是偶数,就将它减半(即 );如果 是奇数,则将它乘3加1(即 ),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明。也不能否定,现在请你研究:如果对正整数 (首项)按照上述规则旅行变换后的第9项为1(注:1可以多次出现),则 的所有不同值的个数为

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【题目】已知直线lx2y2m20

(1)求过点(23)且与直线l垂直的直线的方程;

(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4,求实数m的取值范围.

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)由直线的斜率为,可得所求直线的斜率为,代入点斜式方程,可得答案;(2)直线与两坐标轴的交点分别为,则所围成的三角形的面积为,根据直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为大于,构造不等式,解得答案.

试题解析:(1)与直线l垂直的直线的斜率为-2

因为点(23)在该直线上,所以所求直线方程为y3=-2(x2)

故所求的直线方程为2xy70

(2) 直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),

则所围成的三角形的面积为×|-2m+2|×|m-1|.

由题意可知×|-2m+2|×|m-1|>4,化简得(m-1)2>4,

解得m>3或m<-1,

所以实数m的取值范围是(-,-1)∪(3,+∞)

【方法点睛】本题主要考查直线的方程,两条直线平行与斜率的关系,属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一,这类问题以简单题为主,主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系:在斜率存在的前提下,(1 ;(2,这类问题尽管简单却容易出错,特别是容易遗忘斜率不存在的情况,这一点一定不能掉以轻心.

型】解答
束】
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【题目】在平面直角坐标系中,已知经过原点O的直线与圆交于两点。

(1)若直线与圆相切,切点为B,求直线的方程;

(2)若,求直线的方程;

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【题目】ABC中,∠ABC的对边分别为, , ,若,

(1)求∠B的大小;

(2) ,求ABC的面积.

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【题目】为响应市政府“绿色出行”的号召,王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行.根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知,王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4,骑共享单车的概率是0.6.乘坐地铁单程所需的费用是3元,骑共享单车单程所需的费用是1元.记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元,假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的.
(I)求X的分布列和数学期望
(II)已知王老师在2017年6月的所有工作日(按22个工作日计)中共花费交通费用110元,请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化,并依据以下原则说明理由.
原则:设 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用,若 ,则有95%的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化.(注:

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【题目】已知二次函数的最小值为3,且.

求函数的解析式;

(2)若偶函数(其中),那么, 在区间上是否存在零点?请说明理由.

【答案】(1)(2)存在零点

【解析】试题分析:(1)待定系数法,己知函数类型为二次函数,又知f(-1)=f(3),所以对称轴是x=1,且函数最小值f(1)=3,所设函数,且,代入f(-1)=11,可解a。

2由题意可得,代入,由和根的存在性定理, 在区间(12)上存在零点。

试题解析:1)因为是二次函数,且

所以二次函数图像的对称轴为

的最小值为3,所以可设,且

,得

所以

2由(1)可得

因为

所以在区间(12)上存在零点.

点睛

(1)对于求己知类型函数的的解析式,常用待定系数法,由于二次函数的表达式形式比较多,有一般式,两点式,顶点式,由本题所给条件知道对称轴与顶点坐标,所以设顶点式。

(2)对于判定函数在否存在零点问题,一般解决此类问题的三步曲是:①先通过观察函数图象再估算出根所在的区间;②根据方程根的存在性定理证明根是存在的;③最后根据函数的性质证明根是唯一的.本题给了区间,可直接用根的存在性定理。

型】解答
束】
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【题目】《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过3500元的部分不纳税,超过3500元的部分为全月税所得额,此项税款按下表分段累计计算:

全月应纳税所得额

税率

不超过1500元的部分

超过1500元至4500元的部分

超过4500元至9000元的部分

(1)已知张先生的月工资,薪金所得为10000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?

(2)设王先生的月工资,薪金所得为,当月应缴纳个人所得税为元,写出的函数关系式;

(3)已知王先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得为多少?

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