Question

15．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，CD⊥平面SAD，SA=AD=2，AB=1，SB=$\sqrt{5}$，SD=2$\sqrt{2}$，M，N分别为AB，SC的中点．
（1）证明：AB∥CD；
（2）证明：平面SMC⊥平面SCD．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥平面SAD．CD⊥平面SAD，即可证明AB∥CD；
（2）证明：MN⊥平面SCD，即可证明平面SMC⊥平面SCD．

解答 证明：（1）由SA²+AD²=2²+2²=8=SD²，SA²+AB²=2²+1²=5=SB²，得SA⊥AB，
又AB⊥AD，AD∩SA=A，所以AB⊥平面SAD．
又CD⊥平面SAD，所以AB∥CD．
（2）取SD的中点E，连接AE，NE，如图所示．

易知NE=$\frac{1}{2}$CD=AM，NE∥CD∥AM，所以四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE．
又因为CD⊥平面SAD．AE?平面SAD
所以CD⊥AE．
由（1）知△SAD为等腰直角三角形．
所以AE⊥SD．
又SD∩CD=D，所以AE⊥平面SCD．
因为MN∥AE，所以MN⊥平面SCD．
又MN?平面SMC，所以平面SMC⊥平面SCD．

点评 本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查面面垂直，是中档题．要求熟练掌握相应的判定定理．