Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，满足2a_n+1+S_n-2=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=na_n²，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列的递推关系式，判断{a_n}是以首项a₁=1，公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列，求解即可．
（2）化简新数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）因为2a_n+1+S_n-2=0，
所以，当n≥2时，2a_n+S_n-1-2=0，…（1分）
两式相减得2a_n+1-2a_n+S_n-1-2=0，即$2{a_{n+1}}-2{a_n}+{a_n}=0，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$…（3分）
又当n=1时，2a₂+S₁-2=2a₂+a₁-2=0，所以${a_2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a_1}$，…（4分）
所以{a_n}是以首项a₁=1，公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$…（6分）
（2）由（1）知，${b_n}=na_n^2=\frac{n}{{{4^{n-1}}}}$，…（7分）
则${T_n}=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+…+\frac{n-1}{{{4^{n-2}}}}+\frac{n}{{{4^{n-1}}}}$，①
$4{T_n}=4+2+\frac{3}{4}+…+\frac{n-1}{{{4^{n-3}}}}+\frac{n}{{{4^{n-2}}}}$，②…（8分）
②-①得$3{T_n}=5+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{4^{n-3}}}}+\frac{1}{{{4^{n-2}}}}-\frac{n}{{{4^{n-1}}}}$，…（10分）
=$\frac{16}{3}-\frac{3n+4}{{3×{4^{n-1}}}}$，…（11分）
所以，数列{b_n}的前n项和为${T_n}=\frac{16}{9}-\frac{3n+4}{{9×{4^{n-1}}}}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．