Question

【题目】若关于x的不等式（ax+1）（ex﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，1]
B.[0，1]
C.
D.[0，e]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵不等式（ax+1）（ex﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴①当a=0时，（ax+1）（ex﹣aex）=ex＞0在（0，+∞）上恒成立；
②当a＜0时，ex﹣aex＞0恒成立，故不等式（ax+1）（ex﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立a≥﹣ 在（0，+∞）上恒成立．
∵y=﹣ 在（0，+∞）上单调递增，
∴当x→+∞时，y→0，
∴a≥0，又a＜0，∴a∈；
③当a＞0时，ax+1＞0恒成立，故不等式（ax+1）（ex﹣aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
ex﹣aex≥0在（0，+∞）上恒成立a≤ 在（0，+∞）上恒成立，
因此，a≤（ ）min ，
令g（x）= （x＞0），则g′（x）= = （x＞0），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在区间（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
∴当x=1时，g（x）= （x＞0）取得极小值g（1）=1，也是最小值，
∴0＜a≤1，
综上所述，0≤a≤1，
故选：B．