Question

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=4

3

，∠ACB=90°，AA₁=2，E、F分别是AC、AB的中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为

20

3

或

28

3

（对一个给2分）

．

Answer 1

分析：根据截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，故需要分类讨论，利用截面为梯形，可以计算各边长，从而可求截面的面积．

解答：解：由题意，分类讨论：
如右图，截面为MNFE，延长EM，CN，AA₁，交于点D
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E、F分别是AC、AB的中点
∴DE⊥EF
∴∠AED为截面与平面ABC所成的二面角
∴∠AED=60°
∵AE=

1

2

AC=2

3

∴DE=4

3

∵EF=

1

2

BC=2

3

∴S△DEF=

1

2

×4

3

×2

3

=12
∵DA=6，∴DA1=

2

3

DA
∴SDMN=

4

9

S△DEF=

16

3

∴截面的面积为12-

16

3

=

20

3

设截面EFN'M'在底面中的射影为EFPQ，则EF=2

3

，M'Q=2，CE=2

3

，∠M'EQ=60°
∴EQ=

2

3

3

∴PQ=

8

3

3

∴射影EFPQ的面积为

1

2

×(2

3

+

8

3

3

)×

2

3

3

=

14

3

∵截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°
∴截面EFN'M'的面积为

14

3

÷cos60°=

28

3

故答案为：

20

3

或

28

3

点评：本题以直三棱柱为载体，考查截面面积的计算，搞清截面图形是解题的关键．