Question

数列{a_n}对一切自然数n都满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=9-6n
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=an|sin

nπ

2

|，求证：b₁+b₂+…+b_2n-1＞1．

Answer 1

分析：（1）先用赋值法猜出a_n的通项公式，再利用数学归纳法进行证明．
（2）由a_n与b_n的关系得出b_n的通项公式．再利用|sin

nπ

2

|的特点将问题转化为求等比数列的前n项和，进而解决问题．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=9-6×1=3；当n=2时，a₁+2a₂=9-6×2=-3解得：a₂=-3；
当n=3时，a₁+2a₂+2²a₃=9-6×3=-9解得：a₃=-

3

2

；
当n=4时，a₁+2a₂+2²a₃+2³a₄=9-6×4=-15解得：a₄=-

3

4

…
猜想：an=

3 n=1 (-3)•( 1 2 )n-2 n≥2

用数学归纳法证明如下：
①当n=2时，a2=(-3)•(

1

2

)(2-2)=-3猜想成立；
②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，则a₁+2a₂+2²a₃+…+2^k-1a_k=9-6k；
那么当n=k+1时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^k-1a_k+2^ka_k+1=
9-6k+2kak+1=9-6k+2k•(-3)•(

1

2

)(k+1)-2=9-6k-6=9-6（k+1）
即当n=k+1时猜想成立．
由①②可知：当n≥2时猜想成立．
∴an=

3 n=1 (-3)•( 1 2 )n-2 n≥2

（2）由（1）知：bn=

3 n=1 (-3)•( 1 2 )n-2|sin nπ 2 n≥2

∴①当n=1时，b₁=3＞1满足题意．
  ②当n≥2时，b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1=3+(-3)•[(

1

2

)1+(

1

2

)3+(

1

2

)5+…+(

1

2

)2n-3]
=3+(-3)•

1 2 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=3+2•[(

1

4

)n-1-1]=1+2•(

1

4

)n-1
又∵(

1

4

)n-1＞0 (n≥2)
∴1+2•(

1

4

)n-1＞1
综上所述：b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1＞1

点评：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解题的过程中会用赋值--猜想--证明的方法得到数列的通项公式．能利用题目所给条件|sin

nπ

2

|的特点将问题简化．