Question

已知向量：

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），（其中ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

，若f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相应x的集合；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，△ABC的面积S=5

3

，b=4，f（A）=1，求边a的长．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式进行化简，再由最小正周期得到w的值，从而可确定函数f（x）的解析式，然后再由正弦函数的最值可求得f（x）的最大值及相应x的集合．
（2）将A代入可确定A的值，再由三角形的面积公式可得到c的值，最后根据余弦定理可求得a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin(2ωx+

π

6

)
又题意可得T=π，∴ω=1，∴f（x）=2sin(2x+

π

6

)
当sin(2x+

π

6

)=1时，f（x）有最大值为2，
∴x∈{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π
∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

S=

1

2

bcsin

π

3

=5

5

c=5
由余弦定理得：a²=16+25-2×4×5cos

π

3

=21∴a=

21

．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式的应用，考查正弦函数的基本性质--最值、周期性．三角函数是高考的重点内容，一般以基础题为主，要强化基础的夯实．