Question

（2011•崇明县二模）已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（1，

3

），设函数f（x）=

a

•

b

（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边是a、b、c，若有f（A-

π

3

）=

3

，a=

7

，sinB=

21

7

，求c边的长度．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），结合正弦函数的性质可求函数的单调区间
（2）由f(A-

1

3

π)=

3

可求sinA=

3

2

，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

可求b，而由sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA可求sinC，再由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

可求c
另解同上可得b=2 ）由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA可求c

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）
单调增区间是[0，

π

6

]   单调减区间是[

π

6

，π]
（2）因f(A-

1

3

π)=

3

  
∴2sinA=

3

∴sinA=

3

2

由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

∴b=

asinB

sinA

=

7 × 21 7

3 2

=2
∵△ABC是锐角三角形，所以cosA=

1

2

，cosB=

2 7

7

∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=

3 21

14

由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

即

7

3 2

=

c

3 21 14

∴c=3
另解
同上可得b=2 （同上）
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA
∴7=4+c2-2×2c×

1

2

∴c²-2c-3=0
∴c=3

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理及三角形的内角和定理、两角和的三角公式、同角平分关系等三角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的公式并能灵活应用，属于综合性试题