Question

抛物线y=x²+4x上一点P处的切线的倾斜角为45°，切线与x，y轴的交点分别是A，B，则△AOB的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意和导数的几何意义求出点P的坐标，再求出切线方程，然后求出A、B两点的坐标，进而可求长度及直线AB的方程，再求原点到AB得距离即为三角形边AB上的高，再代入三角形的面积公式求解．
解答：解：设点P的坐标为（x，y），
由题意，y'=2x+4且过P点的切线的斜率k=tan45°=1，
∴由导数的几何意义得，1=2x+4，x=-；代入y=x²+4x解得，y=-，
∴P的坐标为（-，-），
∴过P点的切线的方程为y+=x+，即x-y-=0，
令y=0，x=，令x=0，y=-；∴A（，0），B（0，-）
∴|AB|==，直线AB的方程为x-y-=0；
∴点O（0，0）到直线AB的方程得距d==，
∴△AOB的面积S=×|AB|×d=．故答案为：．
点评：本题考查了根据导数的几何意义如何求切点和切线方程，还有直线方程及三角形的面积求法，是一道好题．