Question

【题目】如图，直三棱柱中， ， ， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：

① 直线与直线是异面直线；② 一定不垂直；

③ 三棱锥的体积为定值； ④的最小值为.

其中正确的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】如图，

∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；

当E与B重合时,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,则A1E垂直AC1，故②错误；

由题意知,直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点,则△AA1O的面积为定值,由BB1∥平面AA1C1C，

∴E到平面AA1O的距离为定值,∴三棱锥EAA1O的体积为定值，故③正确；

设BE=x,则B1E=2x,∴.由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为，故④正确。

∴正确命题的个数是3个。

本题选择C选项.