Question

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）＞6abc．

Answer 1

证明：∵b²+c²≥2bc，a＞0，
∴a（b²+c²）≥2abc ①…（5分）
同理 b（c²+a²）≥2abc ②
c（a²+b²）≥2abc ③…（9分）
因为a，b，c不全相等，所以b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，a²+b²≥2ab三式不能全取“=”号，
从而①、②、③三式也不能全取“=”号
∴三式相加可得：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）＞6abc…（14分）
分析：利用基本不等式，得出三个不等式，再相加，利用a，b，c不全相等，即可证得结论．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．