【题目】已知数列满足
,它的前
项和为
,且
,
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)已知等比数列满足
,
,设数列
的前
项和为
,求
.
【答案】(1) ;(2)
;当
时,
.
【解析】试题分析:(1)由2an+1=an+an+2判断出数列{an}是等差数列,将a3=5,S6=36用基本量表示得到关于首项、公差的方程组,求出首项、公差,利用等差数列的通项公式求出an;(2)将b1+b2=1+a,b4+b5=a3+a4两个式子作商求出公比,利用等比数列的通项公式求出通项,由于anbn=(2n﹣1)an﹣1.所以利用错位相减的方法求出数列{anbn}的前n项和为Tn.
详解:(1)由2an+1=an+an+2得an+2﹣an+1=an+1﹣an,
则数列{an}是等差数列.
∴
因此,an=2n﹣1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,
∵=
,
∴q=a.
由b1+b2=1+a,得b1(1+a)=1+a.
∵a≠﹣1,
∴b1=1.
则bn=b1qn﹣1=an﹣1,anbn=(2n﹣1)an﹣1.
Tn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n﹣1)an﹣1…①
当a≠1时,aTn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n﹣1)an…②
由①﹣②得(1﹣a)Tn=1+2a+2a2+2a3+…+2an﹣1﹣(2n﹣1)an
=,
.
当a=1时,Tn=n2.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),直线C2的方程为y=
,以O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求 +
.
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【题目】已知椭圆 的两个焦点分别为
,
,且经过点
.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ) 的顶点都在椭圆
上,其中
关于原点对称,试问
能否为正三角形?并说明理由.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程是 (θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ.
(Ⅰ) 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标;
(Ⅱ) 点A,B分别在曲线C1 , C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).
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【题目】2015年一交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数,得到如下表所示的数据:
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测在2016年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到110时,可能发生的交通事故次数.
(附:,
,其中
为样本平均值)
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【题目】已知集合…,
…,
,对于
…,
,B=(
…,
,定义A与B的差为
…
,A与B之间的距离为
.
(Ⅰ)若,求
;
(Ⅱ)证明:对任意,有
(i),且
;
(ii)三个数中至少有一个是偶数;
(Ⅲ)对于…
…
,再定义一种A与B之间的运算,并写出两条该运算满足的性质(不需证明).
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【题目】数列中,若对任意
都有
(
为常数)成立,则称
为“等差比数列”,下面对“等差比数列” 的判断:①
不可能为
;②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列 ;④通项公式为
(其中
,且
,
)的数列一定是等差比数列,其中正确的判断是( )
A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①③
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【题目】在等差数列 中,
,其前
项和为
,等比数列
的各项均为正数,
,公比为
,且
,
.
(Ⅰ)求 与
.
(Ⅱ)设数列 满足
,求
的前
项和
.
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