Question

若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象和直线y=x无交点，给出下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＜0，则必存在实数x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
③若a+b+c=O，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；
④函数g（x）=ax²-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．进而逐一由此判断题设中的四个命题的真假即可得到答案．

解答：解：因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因为f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x没有实数根；
故①正确；
若a＜0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立，所以不存在x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
故②错误；
若a+b+c=0，则f（1）=0＜1，可得a＜0，因此不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；
故③正确；
易见函数g（x）=f（-x），与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）和直线y=-x也一定没有交点．
故④正确；
故选C．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知得到f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立是解答本题的关键．