Question

已知两点A(0，

3

)，B(0，-

3

)．曲线G上的动点P（x，y）使得直线PA、PB的斜率之积为-

3

4

．
（I）求G的方程；
（II）过点C（0，-1）的直线与G相交于E、F两点，且

EC

=2

CF

，求直线EF的方程．

Answer 1

分析：（I）利用曲线G上的动点P（x，y）使得直线PA、PB的斜率之积为-

3

4

，建立方程，化简可得G的方程；
（II）设直线方程，代入G的方程，利用韦达定理及

EC

=2

CF

，求出直线的斜率，即可求直线EF的方程．

解答：解：（I）由题知，kAP=

y- 3

x

，kBP=

y+ 3

x

(x≠0)，
故kABkBP=

y2-3

x2

=-

3

4

(x≠0)，化简得G的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1(x≠0)．（4分）
（II）设E（x₁y₁），F（x₂y₂），由

.

EC

=2

.

CF

得x₁=-2x₂．（6分）
设直线EF的方程为y=kx-1，代入G的方程可得：（3+4k²）x²-8kx-8=0   （8分）
∴x1+x2=

8k

3+4k2

，x1x2=

-8

3+4k2

又x₁=-2x₂，∴-x2=

8k

3+4k2

，-

2x

2 2

=

-8

3+4k2

，（10分）
将x₂消去得k2=

1

4

即k=±

1

2

故直线EF的方程为y=±

1

2

x-1．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查韦达定理的运用，属于中档题．