Question

已知长方体AC₁中，AB=BC=4cm，AA₁=2cm，E，F分别为BB₁和A₁B₁的中点，求：
（1）EF与AD₁所成的角；
（2）AC₁与B₁C所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求直线间的夹角、距离,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）首先建立直角坐标系，根据直角坐标系求出相应的点的坐标，进一步求出向量的坐标，然后利用向量的夹角公式求出异面直线的夹角．
（2）根据（1）求出的坐标，进一步求出向量的坐标，同样利用向量的夹角公式求出结果，假如求出的值为负值，要取绝对值．

解答： 解：（1）在长方体AC₁中，建立空间直角坐标系D-xyz，
由于AB=BC=4cm，AA₁=2cm，E，F分别为BB₁和A₁B₁的中点，
则：A（4，0，0），D₁（0，0，2），E（4，4，1），F（4，2，2），C₁（0，4，2），B₁（4，4，2），C（0，4，0）
则：

AD1

=(-4，0，2)，

EF

=(0，-2，1)
cos＜

AD1

，

EF

＞=

AD1 • EF

| AD1 || EF |

=

1

5

所以：EF与AD₁所成的角arcos

1

5

．
（2）由（1）得：

AC1

=(-4，4，2)，

B1C

=(-4，0，-2)
则：cos＜

AC1

，

B1C

＞=

AC1 • B1C

| AC1 || B1C |

=

5

5

所以：AC₁与B₁C所成的角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角，异面直线的夹角，向量的数量积，向量的模长及相关的运算问题．