【题目】设椭圆:的左右焦点分别为,,上顶点为.
(Ⅰ)若.
(i)求椭圆的离心率;
(ii)设直线与椭圆的另一个交点为,若的面积为,求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形,当时,若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有3个,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(i);(ii);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)(i)由勾股定理化简可得,进而可得椭圆的离心率;(ii)易知,故椭圆:,求出直线方程为:,联立直线与椭圆的方程求出点坐标,计算出,则,得到,进而得出椭圆方程;
(Ⅱ)设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为,,设,,显然,不与坐标轴平行,且,设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式求出,同理得出,化简可得出关于的方程有两个不同的正实根,,且都不为1,通过数形结合思想,转化求解即可.
(Ⅰ)(i)可知,,,
∵,∴,
∴.
∴.
(ii)由(i)知,,
∴椭圆:,
可知直线斜率为1,,,
则直线方程为:,
由,得,
得,,∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,∴,
∴椭圆的方程为:.
(Ⅱ)时,椭圆:,,
设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为,,
设,,显然,不与坐标轴平行,且,
所以不妨设直线的方程为,则直线的方程为,
由,消去得到,
所以,,
求得,
同理可求.
因为为以为直角顶点的等腰直角三角形,所以,
所以,
整理得,
所以,
所以或,
所以或,
设,因为以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个,
所以关于的方程有两个不同的正实根,,且都不为1.
∵,
所以,
解得实数的取值范围是.
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【题目】已知数列的前n项和为,且满足,数列中,,对任意正整数,.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在实数,使得数列是等比数列?若存在,请求出实数及公比q的值,若不存在,请说明理由;
(3)求数列前n项和.
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【题目】方程的曲线即为函数的图象,对于函数,有如下结论:①在上单调递减;②函数存在零点;③函数的值域是R;④若函数和的图象关于原点对称,则函数的图象就是确定的曲线
其中所有正确的命题序号是________.
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【题目】在一次购物抽奖活动中,已知某10张奖券中有6张有奖,其余4张没有奖,且有奖的6张奖券每张均可获得价值10元的奖品.某顾客从此10张奖券中任意抽取3张.
(1)求该顾客中奖的概率;
(2)若约定抽取的3张奖券都有奖时,还要另奖价值6元的奖品,求该顾客获得的奖品总价值(元)的分布列和均值.
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【题目】在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( )
A. 甲地:总体均值为3,中位数为4
B. 乙地:总体均值为1,总体方差大于0
C. 丙地:总体均值为2,总体方差为3
D. 丁地:中位数为2,众数为3
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【题目】某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们身高都处于五个层次,根据抽样结果得到如下统计图表,则从图表中不能得出的信息是( )
A. 样本中男生人数少于女生人数
B. 样本中层次身高人数最多
C. 样本中层次身高的男生多于女生
D. 样本中层次身高的女生有3人
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【题目】如图,已知位于轴左侧的圆与轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为,直线与圆相交于,两点,且以为直径的圆恰好经过坐标原点.
(1)求圆的方程;
(2)求直线的斜率的取值范围.
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