Question

【题目】求函数f（x）= （a＞0且a≠1）的值域．

Answer 1

【答案】解：令t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，

则t∈（0，1]，

当0＜a＜1时，f（x）≥loga1=0

当a＞1时，f（x）≤loga1=0

故当0＜a＜1时，f（x）的值域为[0，+∞），

当a＞1时，f（x）的值域为（﹣∞，0]

【解析】令t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，t∈（0，1]，进行换元，当0＜a＜1时，f（x）≥loga1=0，当a＞1时，f（x）≤loga1=0，从而得出f（x）的值域.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对复合函数单调性的判断方法的理解，了解复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．