Question

14．平面内有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），点M（2x，x）
（1）当$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值时，求$\overrightarrow{OM}$的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cos∠AMB的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算和数量积，得到5x²-20x+12，利用二次函数的性质求出x的值，问题得以解决，
（2）根据cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$，即可求出答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），点M（2x，x），
∴$\overrightarrow{MA}$=（1-2x，7-x），$\overrightarrow{MB}$=（5-2x，1-x），
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（1-2x）（5-2x）+（7-x）（1-x）=5x²-20x+12=5（x-2）²-8
当x=2时，$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值，
∴$\overrightarrow{OM}$的坐标为（4，2），
（2）由（1），得$\overrightarrow{MA}$=（-3，5），$\overrightarrow{MB}$=（1，-1），
∴|$\overrightarrow{MA}$|=$\sqrt{34}$，|$\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-8，
∴cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}•\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算和函数最值问题，以及数量积定义的应用，属于中档题．