Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，
∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．
∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF= ．
∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°
即异面直线PA与CD所成的角等于60°．
（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB=1，BD= ，∴PD=
∵DE=2PE，∴PE=
则 ，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD、
由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．
∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、
∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE
∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、
（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、
过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、
∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．
在Rt△ABD中，AO= ．
在Rt△PAD中，AH= ．
在Rt△AOH中，sin∠AHO= ．
∴∠AHO=60°．
即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°．

【解析】（1）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AF∥CD，异面直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等．（2）由三角形中等比例关系可得BE⊥PD，由于CD=BD=得 ，BC=2，可知三角形BCD为直角三角形，即CD⊥DB．同时利用勾股定理也可得CD⊥PD，即可得CD⊥平面PDB．即CD⊥BE，即可得证．（3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD．过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD，则∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．