Question

已知f(x)＝xln x，g(x)＝x³＋ax²－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
(3)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)＜g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)的递减区间是，递增区间为（2）f(x)_min＝（3）[－2，＋∞)

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＜0，得0＜x＜；
令f′(x)＞0，得x＞.
∴f(x)的递减区间是，递增区间为.
(2)(ⅰ)当0＜t＜t＋2＜时，无解．
(ⅱ)当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜，
由(1)知，f(x)_min＝f＝－.
(ⅲ)当≤t＜t＋2，即t≥时，
f(x)在区间[t，t＋2]上递增，f(x)_min＝f(t)＝tln t.
因此f(x)_min＝
(3)2f(x)＜g′(x)＋2，得2xln x≤3x²＋2ax＋1.
∵x＞0，∴a≥ln x-x-.设h(x)＝ln x-x-，
则h′(x)＝-+＝－.?
令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－ (舍)．
当0＜x＜1时，h′(x)＞0，h(x)在(0,1)上单调递增；
当x＞1时，h′(x)＜0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x＝1时，h(x)取得最大值h(x)_max＝－2.
∴a≥－2.
∴a的取值范围是[－2，＋∞)．