Question

已知：函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax（a为实数）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；求哪段上的函数解析式，就在哪个区间上任意取x，则-x在对称的区间上，根据对称区间上的解析式及奇偶性求得．
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；三次函数判断单调性可利用其导函数在（0，1）上的对应值的正负来判断．
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由，分析f′（x）=-3x²+a由x∈（0，1]∴-3x²∈[-3，0），故根据f′（x）的正负可将a分为a＞3，0＜a＜3，a＜0三种情况分类讨论即可．

解答：解：（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴f（-x）=-x³+ax 
又∵f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）
∴f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]
（2）f′（x）=-3x²+a，
∵x∈（0，1]∴-3x²∈[-3，0），
又∵a＞3∴a-3x²＞0即f′（x）＞0
∴f（x）在（0，1]上为增函数．
（3）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，
∴f_max=f（1）=a-1=1∴a=2，（不合题意，舍去）
当0≤a≤3时，f′（x）=a-3x²，令f′（x）=0，∴x=

a 3

如下表：

x	（0， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，1）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值	↘

∴f（x）在x=

a 3

处取得最大值-(

a 3

)3+a

a 3

=1          
∴a=

3	27 4

＜3∴x=

a 3

＜1，满足条件
当a＜0时，f′（x）=a-3x²＜0
f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在a=

3	27 4

，使f（x）在（0，1]上有最大值1．

点评：本题考查了三次函数的单调性问题，需要借助导数来研究．要注意前一问往往为后一问提供解题思路，在第3问中分类是解决问题的难点和关键．