Question

（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

Answer 1

（1）   （2）

（1）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①
∵离心率，∴②
联立①②得：，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴椭圆的标准方程为；
（2）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）²+y²=r²，
不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．
联立，得x²﹣4tx+2t²+16﹣2r²=0．
由△=（﹣4t）²﹣4（2t²+16﹣2r²）=0，得t²+r²=8
又P（）在椭圆上，所以．
整理得，．
代入t²+r²=8，得．
解得：．所以，．
此时．
满足椭圆上的其余点均在圆Q外．
由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．
故所求椭圆方程为．