【题目】如图,在四棱柱中,平面,,,,为棱上一动点,过直线的平面分别与棱,交于点,,则下列结论正确的是__________.
①对于任意的点,都有
②对于任意的点,四边形不可能为平行四边形
③存在点,使得为等腰直角三角形
④存在点,使得直线平面
【答案】①②④
【解析】分析:根据面面平行的性质判断A,B,使用假设法判断C,D.
详解:(1)∵AB∥CD,AA1∥DD1,
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1,∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,
∴AP∥QR,故A正确.
(2)∵四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行,
∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,
∴PQ与AR不平行,故四边形APQR不可能为平行四边形,故B正确.
(3)延长CD至M,使得DM=CM,则四边形ABCM是矩形,∴BC∥AM.
当R,Q,M三点共线时,AM平面APQR,∴BC∥平面APQR,故D正确.
故答案为:①②④.
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【题目】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图),
(1)由图中数据求a的值;
(2)若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少?
(3)估计这所小学的小学生身高的众数,中位数(保留两位小数)及平均数.
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【题目】某中超足球队的后卫线上一共有7名球员,其中3人只能打中后卫,2人只能打边后卫,2人既能打中后卫又能打边后卫,主教练决定选派4名后卫上场比赛,假设可以随机选派球员.
(1)在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率;
(2)在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数的分布列与期望.
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【题目】“珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成,程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上稍四节储三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明”((注)三升九:升,次第盛;盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( )
A.升B.升C.升D.升
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【题目】图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是( )
A. 捕食者和被捕食者数量与时间以年为周期
B. 由图可知,当捕食者数量增多的过程中,被捕食者数量先增多后减少
C. 捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述
D. 捕食者的数量在第年和年之间数量在急速减少
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【题目】椭圆中心在原点,焦点在轴上, 、分别为上、下焦点,椭圆的离心率为, 为椭圆上一点且.
(1)若的面积为,求椭圆的标准方程;
(2)若的延长线与椭圆另一交点为,以为直径的圆过点, 为椭圆上动点,求的范围.
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【题目】某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成, , , , , 六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:
(1)求分数内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数;
(3)若从第1组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
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【题目】已知函数f(x)=x2+(x2-3x)lnx
(1)求函数f(x)在x=e处的切线方程
(2)对任意的x)都存在正实数a,使得方程f(x)=a至少有2个实根, 求a的最小值
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