Question

5．给出下列四个命题：
①?α∈R，$sinα-cosα=\frac{7}{5}$；
②函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x$图象的对称中心是$（{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}，0}）$（k∈Z）；
③函数$f（x）=\frac{sinx}{3-cosx}$是周期函数，2π是它的一个周期；
④（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1）．
其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化积后求出sinα-cosα的值域判断①；利用两角和的正弦化积后求出对称中心判断②；直接利用周期函数的定义判断③；利用两角和的正切求得等式两边的值判断④．

解答 解：①∵sinα-cosα=$\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）$，∴sinα-cosα∈[-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，即?α∈R，$sinα-cosα=\frac{7}{5}$，①正确；
②函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，由$2x+\frac{π}{6}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，图象的对称中心是（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，0$）（k∈Z），②错误；
③∵f（x+2π）=$\frac{sin（x+2π）}{3-cos（x+2π）}$=$\frac{sinx}{3-cosx}=f（x）$，∴函数$f（x）=\frac{sinx}{3-cosx}$是周期函数，2π是它的一个周期，③正确；
④∵（tan14°+1）（tan31°+1）=tan31°+tan14°+tan31°tan14°+1=2，
（tan16°+1）（tan29°+1）=tan16°+tan29°+tan16°tan29°+1=2，
∴（tan14°+1）（tan31°+1）=（tan16°+1）（tan29°+1），④正确．
∴真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象好性质，是中档题．