Question

7．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$，则$z=\frac{y}{x-4}$的最小值为$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由$z=\frac{y}{x-4}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2），
$z=\frac{y}{x-4}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，
由图可知，$z=\frac{y}{x-4}$的最小值为${k}_{PA}=\frac{2-0}{1-4}=-\frac{2}{3}$．
故答案为：$-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．