【题目】已知双曲线C:4x2﹣y2=4及直线l:y=kx﹣1
(1)求双曲线C的渐近线方程及离心率;
(2)直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:将双曲线C:4x2﹣y2=4,化为标准方程得 ,可知焦点在x轴上,
则a=1,b=2,c= = ,
∴双曲线的渐近线方程为y=± x=±2x,
离心率为e= =
(2)解:由直线l:y=kx﹣1,直线l与双曲线C相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 ,消去y,整理得:(4﹣k2)x2+2kx﹣5=0,
由韦达定理可知:x1x2=﹣
直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点,
,
解得:k2<5,且k2<4,
∴﹣2<k<2,
∴实数k的取值范围是(﹣2,2)
【解析】(1)由题意可知: ,可知焦点在x轴上,则a=1,b=2,c= = ,渐近线方程为y=± x=±2x,离心率为e= = ;(2)将直线方程代入椭圆方程,由韦达定理可知:x1x2=﹣ ,直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点, ,即可求得k的取值范围.
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【题目】已知圆C的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,其中m<5.
(1)若圆C与直线l:x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|= ,求m的值;
(2)在(1)条件下,是否存在直线l:x﹣2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为 ,若存在,求出c的范围,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=4tanxsin( ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣ , ]上的单调性.
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【题目】已知集合A是函数y=lg(6+5x﹣x2)的定义域,集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0(a>0)的解集.p:x∈A,q:x∈B.
(1)若A∩B=,求a的取值范围;
(2)若¬p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
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