Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，），（0，），的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．

（1）求C的方程．

（2）设直线与C交于A，B两点，求弦长|AB|，并判断OA与OB是否垂直，若垂直，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x21；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到c，a＝2，求出b后可得椭圆的标准方程；

（2）设A（x1，1）B（x2，1），联立方程，得17x2+4x﹣12＝0，x1+x2，x1x2，进而求解即可.

（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中c，a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1，

故轨迹C的方程为：x21．

（2）设A（x1，1）B（x2，1），联立方程，得17x2+4x﹣12＝0，x1+x2，x1x2，

则|AB|

（x1，1），（x2，1），x1x2+（1）（1）x1x2（x1+x2）+1（）（）+1＝0，

即⊥，所以OA与OB垂直.