【题目】设点,动圆经过点且和直线相切,记动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据抛物线的定义,求出抛物线的解析式即可;(2)求出直线的方程,求出的坐标,联立方程组,求出的坐标,求出直线的斜率,得到关于的不等式,求出的范围即可.
试题解析:(1)过点作直线垂直于直线于点,由题意得,
所以动点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.
所以抛物线的方程为.
(2)由题意知,过点的直线斜率存在且不为0,设其为.
则,当,则.
联立方程,整理得: .
即: ,解得或.
∴,而,∴直线斜率为.
∴ ,
联立方程,
整理得: ,
即: , ,
解得: ,或.
∴
∴ .
而抛物线在点处切线斜率: ,
是抛物线的切线, ∴,
整理得,
∴,解得 (舍去),或,∴.
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【题目】已知动圆过定点F(0,﹣1),且与直线l:y=1相切,椭圆N的对称轴为坐标轴,O点为坐标原点,F是其一个焦点,又点A(0,2)在椭圆N上.若过F的动直线m交椭圆于B,C点,交轨迹M于D,E两点,设S1为△ABC的面积,S2为△ODE的面积,令Z=S1S2 , Z的最小值是 .
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 直线l经过F2且交椭圆C于A,B两点(如图),△ABF1的周长为4 ,原点O到直线l的最大距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过F2作弦AB的垂线交椭圆C于M,N两点,求四边形AMBN面积最小时直线l的方程.
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【题目】已知点A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0, )
B.
C.
D.
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【题目】如图四边形ABCD为梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=4,BC=5,图中阴影部分(梯形剪去一个扇形)绕AB旋转一周形成一个旋转体.
(1)求该旋转体的表面积;
(2)求该旋转体的体积.
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【题目】已知函数f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若对于任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为负数,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣4,﹣1)
B.(﹣4,0)
C.(0, )
D.(﹣4, )
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【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40中学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段: , ,…, 所得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
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