Question

已知函数f（x）=alnx+|x-1|（a为常数）．
（1）当a=

2

3

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值．
（3）?x∈[

1

2

，+∞），使不等式f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=

2

3

时，f（x）=

2 3 lnx+x-1，x≥1 2 3 lnx-x+1，0＜x＜1

，f′(x)=

2 3x +1，x≥1 2 3x -1，0＜x＜1

，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）x∈[1，+∞）时，f（x）=alnx+x-1，f′(x)=

a

x

+1，
①当a≥-1时，f′（x）＞0，此时f（x）在[1，+∞）上是增函数．由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在[1，+∞）上的最小值．
（3）由?x∈[

1

2

，+∞），使不等式f（x）＜0成立，得到只需f（x）的最小值f（x）_min＜0即可．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=

2

3

时，f（x）=

2

3

lnx+|x-1|=

2 3 lnx+x-1，x≥1 2 3 lnx-x+1，0＜x＜1

，
∴f′(x)=

2 3x +1，x≥1 2 3x -1，0＜x＜1

，
∴当x≥1时，f′（x）＞0，
当0＜x＜1时，由

2

3x

-1≥0，得0＜x≤

2

3

．由

2

3x

-1＜0得

2

3

＜x＜1．
∴f（x）的增区间为（0，

2

3

]、[1，+∞），减区间为（

2

3

，1）．
（2）x∈[1，+∞）时，f（x）=alnx+x-1，
f′(x)=

a

x

+1，
①当a≥-1时，f′（x）＞0，此时f（x）在[1，+∞）上是增函数，其最小值为f（1）=0．
②当a＜-1时，f′(x)=

a+x

x

≥0，x≥-a，
f′（x）＜0，得1＜x＜-a，
此时f（x）在[-a，+∞）上是增函数，在[1，-a）上是减函数，其最小值为f（-a）=aln（-a）-a-1，
综上所述，当a≥-1时，f（x）的增区间为[1，+∞），最小值为aln（-a）-a-1；
当a＜-1时，f（x）的增区间为[-a，+∞），其最小值为0；
（3）∵?x∈[

1

2

，+∞），使不等式f（x）＜0成立，
只需f（x）的最小值f（x）_min＜0即可．
f′(x)=

a x +1，x≥1 a x -1， 1 2 ≤x＜1

，
当x≥1时，由f′(x)=

a

x

+1=0，得x=-a，不成立；
当0＜x＜1时，由f′（x）=

a

x

-1=0，得x=a，且0＜a＜1，
若当x=a时，f（x）b取最小值，则f（a）=alna+|a-1|=alna+1-a＜0，
∴

1

1-lna

＜a＜1，故a∈（0，1）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．