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7.已知函数f(x)=x|x-a|+b,x∈R.
(1)当b=0时,判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)当a=1,b=1时,若f(2x)=$\frac{5}{4}$,求x的值;
(3)若-1≤b<0,且对任意x∈[0,1]不等式 f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)当a=0时,f(x)为奇函数;当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.运用奇偶性的定义,即可得到结论;
(2)当a=1,b=1时,若f(2x)=$\frac{5}{4}$,即为2x|2x-1|+1=$\frac{5}{4}$,当2x≥1,当0<2x<1,去掉绝对值,由指数方程的解法,即可得到所求x的值;
(3)只需考虑x∈(0,1]的情况,此时,不等式即|x-a|<$\frac{-b}{x}$,即x+$\frac{b}{x}$<a<x-$\frac{b}{x}$,故(x+$\frac{b}{x}$)max<a<(x-$\frac{b}{x}$)min.利用函数的单调性求得(x+$\frac{b}{x}$)max和(x-$\frac{b}{x}$)min,从而求得a的取值范围.

解答 解:(1)当b=0时,f(x)=x|x-a|,
当a=0时,f(x)为奇函数;
当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.
理由:当a=0时,f(x)=x|x|,
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
f(x)为奇函数;
当a≠0时,f(-x)=-x|-x-a|=-x|x+a|≠f(x),
且f(-x)≠-f(x),则f(x)为非奇非偶函数;
(2)当a=1,b=1时,若f(2x)=$\frac{5}{4}$,
即为2x|2x-1|+1=$\frac{5}{4}$,
当2x≥1,即x≥0时,(2x2-2x-$\frac{1}{4}$=0,
解方程可得2x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$(舍去);
当0<2x<1,即x<0时,(2x2-2x+$\frac{1}{4}$=0,
解方程可得2x=$\frac{1}{2}$.
则x=log2$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或x=-1;
(3)当x=0时,不等式即b<0,显然恒成立,
故只需考虑x∈(0,1]的情况,
此时,不等式即|x-a|<$\frac{-b}{x}$,即 x+$\frac{b}{x}$<a<x-$\frac{b}{x}$,
故(x+$\frac{b}{x}$)max<a<(x-$\frac{b}{x}$)min
由于函数g(x)=x+$\frac{b}{x}$在(0,1]上单调递增,
故(x+$\frac{b}{x}$)max=g(1)=1+b.
对于函数h(x)=x-$\frac{b}{x}$,x∈(0,1],
当-1≤b<0时,h(x)=x-$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{-b}$,
当且仅当x=$\sqrt{-b}$时,h(x)的最小值(x-$\frac{b}{x}$)min=2$\sqrt{-b}$.
此时,要使a存在,必须有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤b<0}\\{1+b<2\sqrt{-b}}\end{array}\right.$,
即-1≤b<2$\sqrt{-b}$,此时a的取值范围是(1+b,2$\sqrt{-b}$).

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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