Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】

（1）设椭圆C的方程为（，，）.

根据椭圆过两点，代入得到方程组，解得.

（2）由直线AM，BM，AB的斜率存在，故.设它们的斜率分别为，，k.

设，，直线AB的方程为.联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由.即. 即可解得，或.分别代入检验，再用弦长公式及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式求最值.

解：（1）设椭圆C的方程为（，，）.

∵点和N在椭圆C上，

∴.解得.

∴椭圆C的标准方程为.

（2）∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，

∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k.

设，，直线AB的方程为.

∴.

∴.

由，消去y，得.

由，得.

∴，.

∴.

∴.

∴.

∴，或.

∵点A，B为椭圆上异于M的两点，

∴当时，直线AB的方程为，不合题意，舍去.

∴直线AB的斜率为.

∵，点M到直线AB的距离为，

∴的面积为.

当且仅当时，的面积取得最大值，此时.

∵，满足.

∴直线AB的方程为或.