Question

已知f（x）=2x³+ax²+bx+c在x=-1处取得极值8，又x=2时，f（x） 也取得极值．
（1）求a，b，c的值，写出f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，由题意可知，x=-1，x=2是方程6x²+2ax+b=0的两根，利用根与系数的关系可求出a和b，最后由x=-1时f（x）的极值是8求出c，从而求出函数的解析式；
（2）先求出导函数，令f′（x）=0求出极值点，根据满足f′（x）＞0的是单调增区间，满足f′（x）＜0的是单调减区间，即可求出所求．

解答：解：（1）f′（x）=6x²+2ax+b，由题意可知，x=-1，x=2是方程6x²+2ax+b=0的两根，
故：x₁+x₂═-

a

3

=1，∴a=-3，-2=

b

6

，∴b=-12，又，当x=-1时f（x）的极值是8，
∴c=1∴f（x）=2x³-3x²-12x+1     （6分）
（2）∵f′（x）=6x²-6x-12，令f′（x）=0，即6x²-6x-12=0，∴x=2或x=-1，
解得函数的单调区间为：增区间为：（-∞，-1），（2，+∞）     
单调减区间为（-1，2）（6分）

点评：本题主要考查了函数在某点取极值的条件，同时考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．