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已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1,x=-
2
3
时,都取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对x∈[-1,2],有f(x)<
1
c
恒成立,求c的取值范围.
考点:利用导数研究函数的极值
专题:函数的性质及应用,导数的概念及应用
分析:(1)根据极值点处的导数为零,列出关于a,b的方程组求解;
(2)只需f(x)在[-1,2]上的最大值小于c即可,结合导数求出f(x)在该区间上的最大值,构造关于c的不等式.
解答: 解(1)由已知得f′(x)=3x2+2ax+b,因为x=1,x=-
2
3
是极值点,
所以
f′(1)=0
f′(-
2
3
)=0
,即
3+2a+b=0
4-4a+3b=0
,解得a=-
1
2
,b=-2

(2)由(1)得f(x)=x3-
1
2
x2-2x+c

所以f′(x)=3x2-x-2=3(x+
2
3
)(x-1)
.令f′(x)=0得x=-
2
3
或x=1

结合可导函数在闭区间上最值的求法可知,函数的最值必在区间内导数为0或端点处取得.
因为f(-1)=c+
1
2
,f(-
2
3
)=c+
22
27
,f(1)=c-
3
2
,f(2)=c+2.
可见最大值为f(2)=c+2.由题意得c+2
1
c
.即
c2+2c-1
c
<0

c2+2c-1<0
c>0
c2+2c-1>0
c<0

解得c<-1-
2
或0<c<
2
-1

故c的范围是c<-1-
2
或0<c<
2
-1
点评:本题考查了导数求极值的基本思路,以及利用利用导数研究函数的单调性求最值,解决不等式恒成立问题的思路.
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在锐角△ABC中,则有(  )
A、cosA>sinB且cosB>sinA
B、cosA<sinB且cosB<sinA
C、cosA>sinB且cosB<sinA
D、cosA<sinB且cosB>sinA

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已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=a1nx.
(1)若f(x)在x∈[-
1
2
,1)上的最大值为
3
8
,求实数b的值
(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≤-x2+(a+2)x成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P,Q使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.

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x+1
2
)2

(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)求证:a>0,c>0;
(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调的,求实数m的取值范围.

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解不等式:loge
1
2
x-3)≥0.

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(1)求证:平面DA1C1∥平面B1AC;
(2)求证:B1C⊥BD1

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求函数y=x2+2ax-3,x∈[0,2]的最值.

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已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,
xf′(x)-f(x)
x2
>0,且f(-2)=0,则不等式
f(x)
x
>0的解集是
 

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